Термины, связанные с цементом. Дифференциальных уравнений

Главная --> Справочник терминов

Дифференциальных уравнений 2. Конечно-разностные аппроксимации дифференциальных операторов задачи. Введем обозначения

Если теперь увеличивать число параллельно соединенных мак с-велловских элементов, то этому будет отвечать повышение порядков; дифференциальных операторов. Тогда для вязкоупругой жидкости с произвольным числом дискретно распределенных времен релаксации реологическое уравнение состояния можно представить в следующем виде:

Дальнейшие возможности обобщений реологических уравнений дифференциального типа связаны, во-первых, с использованием полного операторного уравнения состояния (1.104) с производьно большим числом слагаемых как в левой, так и в правой части и, во-вторых, с применением в этом уравнении состояния дифференциальных операторов сложного строения.

Рассмотрение механических свойств простейшей — максвеллов-ской — модели вязкоупругой жидкости или ее обобщений, записанных в виде дискретных линейных дифференциальных операторов, не дает возможности описать экспериментально наблюдаемую зависи-

Рассмотрим подробнее использование некоторых дифференциальных операторов, получивших наибольшее распространение, для анализа одномерного сдвигового течения. Пусть осуществляется простой сдвиг вязкоупругои жидкости в направлении оси агц так что градиент скорости в направлении оси х2 равен у о = dv^ldx^ (где уг — скорость). Процесс течения предполагается установившимся.

Не останавливаясь на анализе относящихся сюда экспериментальных фактов, укажем, что уравнения состояния (1.100) с яуман-новскими производными оказываются количественно неудовлетворительными для описания многих важных эффектов, специфичных для полимерных сред. Поэтому в литературе предлагаются и обсуждаются иные формы обобщения уравнения состояния (1.100), связанные с использованием более сложных дифференциальных операторов, удовлетворяющих принципу инвариантности при переходе из одной координатной системы в другую. Число таких операторов, вообще говоря, неограниченно. Приведем здесь результаты использования еще двух дифференциальных операторов более сложного строения с целью проиллюстрировать возможности и результаты такого теоретического подхода.

Кроме трех введенных выше эмпирических постоянных (е, 6т и «) в теории рассматривается также четвертая постоянная — начальная вязкость т]0. Тогда, применяя изложенную выше схему вычисления производных с помощью дифференциальных операторов сложного строения, можно получить следующие выражения для эффективной вязкости:

Основной результат, который следует из изложенных выше теорий, состоит в том, что, используя представление о формулировке реологических уравнений состояния в конвективной системе координат и учитывая тем самым необходимость согласования систем отсчета при записи этих уравнений, удается предсказать на основе «геометрических» соображений существование эффекта аномалии вязкости. Однако при этом не достигается количественное соответствие теоретических формул (во всяком случае простейших из них) с экспериментом. С формальной точки зрения уточнение теории требует введения новых, более сложных способов записи реологических уравнений состояния. Это означает, что явление аномалии вязкости не сводится к чисто геометрическим представлениям процессов вращения и переноса элементов среды в пространстве. Можно предполагать, что введение сложных дифференциальных операторов является формальным способом отражения тех физических (структурных) изменений, которые происходят в среде одновременно с перемещением ее частиц в пространстве. Эти изменения вносят свой вклад в наблюдаемый эффект аномалии вязкости.

Обобщение линейной теории вязкоупругости на случай больших деформаций позволяет рассмотреть вопрос о возможных формах корреляции стационарных и динамических характеристик полимерных систем. Как указывалось в гл. 2, в зависимости от формы примененного дифференциального оператора получаются различные предсказания относительно формы зависимостей т (у) и 0 (у). Однако при этом функции G' (to) и G" (со) оказываются инвариантными к способу описания нелинейных эффектов при установившемся течении. Поэтому применительно к рассматриваемой проблеме корреляции динамических и стационарных характеристик полимерных систем использование дифференциальных операторов сложного строения позволяет модифицировать теоретические предсказания относительно стационарных характеристик, т. е. функций т (у) и а (у), но не влияет на вид функций G' (со) и G" (со), которые определяются только выбором значений констант используемой реологической модели.

напряжений. Теория предсказывает квадратичный характер зависимости а от у и совпадение а с 2 G' в предельном случае при со -»• 0. Для того чтобы сравнить предсказания, вытекающие из использования других дифференциальных операторов, целесообразно получить выражения G' (со) и G" (to) для дискретного распределения времен релаксации, описываемого операторным уравнением (1.104). Соответствующие вычисления приводят к формулам

Формулы (3.50) легко сопоставляются с зависимостями т (у) и а (у), полученными в разделе 5.10 гл. 2 для различных дифференциальных операторов.

Моделирование — это абстрагирование от многосложной реальной действительности к относительной простоте модели. Различают наглядные модели, представляющие собой миниатюрное, по возможности упрощенное в деталях или функциях физическое изображение моделируемых объектов; модели-аналоги — это статичные, описательные изображения моделируемого объекта, такие, как технические чертежи, технологические схемы, схемы материальных потоков и т. п.; символические модели, наиболее распространенным типом которых являются математические модели. Математическая модель процесса состоит из системы алгебраических или дифференциальных уравнений, определяющих выходные параметры системы в категориях исходных данных. Модель должна быть достаточно надежна, чтобы позволить интерполяцию, и особенно экстраполяцию. Если существует надежная и верная теория и если ее общие положения распространяются на рассматриваемый процесс, то может быть создана теоретическая модель, особенно полезная в этих условиях для разработки процесса. Если пет надежно обоснованной теории, то более полезной может оказаться эмпирическая модель. Эмпирические модели, в отличие от теоретических, основываются на минимуме абстрагирования и отражают опыт, накопленный в четко очерченных узких областях. Поэтому, несмотря па высокую ценность теоретических моделей, как к вспомогательному средству исследования и проектирования процесса всегда обращаются к эмпирическому подходу, основывающемуся па реальном поведении производственных объектов.

Для выбора оптимальных условий синтеза ДМД, а также расчета промышленных реакторов была создана математическая модель приведенного комплекса химических превращений [7]. Эта модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, учитывающих важнейшие стадии образования целевого и побочных продуктов. На рис. 2 результаты выполненных с помощью

Для решения системы уравнений (3.62) - (3.63) можно применить несколько отличающийся от рассмотренного выше метод. Уравнение (3.62) записывается только для метана. Из решения системы находим его концентрацию и степень конверсии. Реакцию конверсии СО паром считаем равновесной и методами, описанными в главе I, находим состав газовой смеси. Уменьшение числа дифференциальных уравнений сокращает время счета, но алгоритм расчета несколько усложняется.-

где Ср - средние объемные теплоемкости при Р = canst. Индексы соответственно обозначают: I:'- Cfy f 2 - 02, 3 - Яг0, 4 - С02, 5 ~ '"?, 3 - СО, 7 - fy+Ar, верхний'индекс (') относится к условиям на входе.. Система трансцендентных уравнений (5.12)-(5.14) была решена ав торами /60, 61/ на аналоговой вычислительной машине "Катализ" путем сведения ее к системе дифференциальных уравнений. В результате при различных составах и температурах исходной смеси определялись равновесная температура и состав смеси. Некоторые результаты расчета парокислородной конверсии при Р = 1,7 ат представлены в табл.13, Взаимосвязь параметров процесса и равновесного состава смеси была рассмотрена ранее (гл.1). Проанализируем влияние температуры подогрева сырья на показатели процесса. Повышение температуры подогрева приводит к сокращению расхода кислорода (рис.22). Так, увеличение температуры исходной смеси с 350 до 500°С приводит к уменьшению рас хода кислорода на 6-9$ в зависимости от отношения ЦО-.СЦ .При заданной температуре нагрева ( к г const ) увеличение разбавления сырья водяным паром не приводит к повышенному расходу кислорода,так как заданная степень конверсии метана достигается при более низкой температуре. При фиксированном отношении ^ :СН^ температура на выходе зависит от температуры смеси на входе (рис.23).

В промышленном шахтном реакторе продольным перемешиванием можно пренебречь и считать его реактором вытеснения, процесс в котором описывается системой дифференциальных уравнений

Процессы паровой и пароуглекйслотной конверсии проводятся в реакционных цилиндрических трубах с неподвижным слоем катализатора. Реакционные трубы являются реакторами вытеснения в общем случае с про-дольной и поперечной диффузией и теплопроводностью, и процесс конверсии в них описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных

Основа расчета - это решение системы дифференциальных уравнений (6.3)-(6.5), описывающих процесс в реакторе (рис.42). Но для решения ее необходим большой объем данных, которые рассчитываются в отдельных блоках. Исходными данными для расчета являются: расход сырья и его состав, отношение пар: сырье, параметры потока на входе, температура внутренней или наружной поверхностей труби,геометрические размеры реактора и другие величины. Вначале (блок /) производится расчет величин, являющихся постоянными для данного набора исходных параметров, площадь поперечного сечения (/ ), массовая скорость ( дм ), порозность слоя ? и другие величины.

В процессе решения системы дифференциальных уравнений (блок 6 ) производится обращение к блокам r-S . Так как коэффициенты уравнений являются переменными, то необходимы специальные методы решения. Можно применить следующий метод. Реактор по длине разбивается на ряд участков длиной й2 таким образом, чтобы скорость, тешюфи-зические свойства газовой смеси и катализатора можно было считать постоянными.

Следовательно, постоянными будут и коэффициенты переноса. Находим среднеинтегральную по сечению наблюдаемую скорость решении ш* с учетом порозности слоя катализатора. После этих преобразований получаем систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая сравнительно легко может быть решена численными методами. Находятся среднеинтегралыше температура и наблюдаемая скорость«реакции в объеме рассматриваемого участка, а также средняя скорость и тешюфизические свойства по средней темпера туре. По этим уточненным значениям т, f, н,ш* снова производится решение системы уравнений. Результаты второго решения считаются достаточно точными. Находится средняя по радиусу концентрация метана на длине 1 и сте-

Подстановка решения (1.144) в систему уравнения для слоя и полупространства приводит к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений

Подставляя зависимости (3.118) — (3.119) в уравнения движения (в дифференциальной форме или в форме принципа возможных перемещений) и используя метод конечных разностей, метод конечных элементов в обычной или модифицированной указанным выше способом форме или еще какой-нибудь метод для дискретизации задачи цо пространственным переменным, придем к системе интегро-дифференциальных уравнений вида

Диссоциации комплекса Дистиллята дистиллят Дистиллят охлаждают Дистиллят содержащий Дизамещенные производные Дизамещенных гидразинов Дальнейшему превращению Длительная обработка Длительное кипячение