|
|
|
Главная --> Справочник терминов Гармонических осцилляторов За цикл деформации при гармонических колебаниях совершается работа Ат, вычисляемая как Рис. V.2. Связь ме;Жду напряжениями и деформациями при гармонических колебаниях. Выше говорилось о гармонических колебаниях. Однако динамические испытания могут осуществляться при других периодических деформациях, создаваемых, например, прямоугольными, треугольными или любыми иными импульсами. Действительно, разложение таких импульсов в ряд Фурье позволяет построить ряд гармоник деформаций и напряжений, а измерение разности фаз для каждой гармоники сводит проблему нахождения компонент динамического модуля к рассмотренным ранее теоретическим основаниям. Однако использование несинусоидальных колебаний в принципе позволяет в одном эксперименте (при одной частоте колебаний) получить более богатую информацию о свойствах исследуемого материала, чем при гармонических колебаниях. Это связано с тем, что использование разложения импульса произвольной формы на сумму гармоник дает одновременно характеристики, отвечающие набору частот основной и высших гармоник. Этот метод представляется весьма перспективным. Однако он требует высокой точности воплощения и хорошего уровня автоматизации вычислений при обработке результатов измерений. В настоящее время метод негармонических колебаний еще не нашел серьезной практической реализации, но надо думать, что это — вопрос времени. жением а и деформацией е при гармонических колебаниях записывается в общей форме: Другой предложенный принцип обработки экспериментальных данных, получаемых при вынужденных гармонических колебаниях, основан на использовании корреляционного метода и требует для своего осуществления применения вычислительной техники [3]. Этот подход основан на вычислении интегралов: Смещения при одномерных гармонических колебаниях х описываются уравнением Продолжая развитие представлений о линейности как о пропорциональности напряжений и деформаций, назовем вязкоупругое тело линейным, если при гармонических колебаниях значения G' и G* или (Gi/Yo) и б не зависят от амплитудных значений задаваемой деформации. Отношение (OO/YO) представляет собой абсолютное значение комплексной величины G' + iG": Величину т]' обычно называют просто динамической вязкостью. Таким образом, из всех введенных выше характеристик вязко-упругих свойств среды, измеряемых при гармонических колебаниях, независимыми являются любые две, например G' и G", или /' и /", или 1]' и т]"; остальные выражаются через две величины, принятые за исходные, с помощью простых алгебраических соотношений. Изложенные понятия допускают простую графическую интерпретацию, обычно используемую при рассмотрении комплексных величин. Действительно, пусть напряжение и деформация изображаются векторами длиной J у0 и хта в координатах, в которых абсцисса является осью действительных чисел, а ордината — мнимых (рис. 1.14). Векторы вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью ю рад/с, образуя углы, равные со ? и ( Важно отметить, что при изменении частоты изменяется не только длина вектора v» но и отношение длин векторов <т0 и у0, а также величина угла б. Поэтому полными характеристиками вязкоупругих свойств среды, определяемыми при гармонических колебаниях, являются частотные зависимости компонент комплексного модуля упругости или частотная зависимость угла б. Установим физический смысл полученных результатов для вязко-упругого тела в связи с понятием об упругом потенциале и функции диссипации, т.е. покажем, что при гармонических колебаниях вязко-упругого тела действительно W =? О и D Ф 0. Вычислим полную работу А , совершаемую за цикл колебаний в расчете на единицу объема: Твердое тело (кристалл) можно рассматривать состоящим из п частиц (атомов, ионов) или как систему (ансамбль) из Зя гармонических осцилляторов с разными частотами нормальных колебаний v. Его уравнение состояния есть pV=—VU(V)+D. Здесь U(V) —не зависящий от Т член, учитывающий внутреннюю энергию U кристалла, a D — член, учитывающий условия тепловых колебаний частиц. При заданных У и Т термический вклад в давление учитывается соотношением Метод Борна заключается в сравнении этой энергии с энергией произвольного ряда гармонических осцилляторов: Постоянная Больцмана k= 1,38-10~23 Дж/К представляет собой отношение k = R/N0, где # = 8,31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, a JV0 = 6,02-•1023 моль^1 — число Авогадро. Моль твердого тела можно рассматривать как систему 3N0 простых одномерных гармонических осцилляторов. Внутренняя энергия такой системы равна: Теория Эйнштейна. Эйнштейн попытался объяснить резкое уменьшение теплоемкости твердых тел при низких температурах (при Т—»-0), исходя из простой модели. Он предположил, что для объяснения тепловых свойств при низких температурах кристаллическую решетку твердого тела, состоящую из N колеблющихся атомов, можно рассматривать как систему 3N независимых одномерных гармонических осцилляторов, имеющих одинаковую собственную частоту v. Гармонические осцилляторы, использованные Эйнштейном, отличались от классических гармонических осцилляторов. Классический гармонический осциллятор может иметь любую амплитуду колебаний и, следовательно, любую энергию. Квантовые гармонические осцилляторы, с которыми оперировал Эйнштейн, могут иметь лишь строго определенные, дискрет- Из сравнения выражений (4.2) и (4.8) следует, что значения средней энергии квантового и классического гармонических осцилляторов существенно различаются. Заметим, что выражение (4.8) имеет более общий характер. Из него как частный случай можно получить выражение для средней энергии классического гармонического осциллятора. Действительно, при высоких температурах, когда kT~^>hti>, знаменатель в выражении (4.8) можно разложить в ряд: Теплоемкость системы N одинаковых квантовых гармонических осцилляторов можно представить как Таким образом, теория Дебая рассматривает сложное движение центров масс связанных между собой N элементов решетки. Это сложное движение (колебания решетки) предполагается эквивалентным движению 3N независимых одномерных гармонических осцилляторов. Координаты этих гармонических осцилляторов называются нормальными координатами, а их колебания называются нормальными колебаниями. Внутренняя энергия и теплоемкость твердого тела состоят из аддитивных вкладов отдельных нормальных колебаний. Для расчета теплоемкости (вывода формулы, описывающей зависимость теплоемкости от температуры) необходимо знать частотный спектр нормальных колебаний. Частотный спектр нормальных колебаний может быть рассчитан теоретически путем использования так называемого секулярного уравнения. В случае простой решетки решение секулярного уравнения содержит три частотных (акустических) ветви, которые соответствуют трем возможным независимым ориентациям вектора поляризации волн решетки, т. е. трем типам упругих волн, возбужденных в решетке (двум поперечным и одной продольной). Простота формулы Дебая и является следствием ряда упрощений, сделанных при ее выводе. В значительно большей степени атомное строение твердых тел было учтено в теории теплоемкости, предложенной Борном и Карманом [3]. В этой теории твердое тело рассматривается как решетка, состоящая из точечных масс, соединенных между собой пружинами. Борн и Карман не только рассмотрели действие центральных сил, но попытались учесть силы, действующие между атомами на более дальних расстояниях. В случае наиболее простой модели, какой является одномерная модель с центральными силами, действующими между ближайшими соседними атомами, они показали, что допущение Дебая о том, что дисперсия скорости упругих волн отсутствует, неправомерно. В теории Борна — Кармана учитывалось, что граничная частота шт (частота «обрезания» спектра нормальных колебаний) должна В теории Дебая число нормальных колебаний решетки приводится в соответствии с общим числом колебательных степеней свободы (3N) системы, состоящей из Л' одномерных гармонических осцилляторов, путем использования соотношения: колебаний решетки; 2) металлы, где основную роль в теплопроводности играют электроны; 3) сплавы и другие плохо проводящие вещества, теплопроводность которых обусловлена обеими указанными выше причинами. Рассмотрим теплопроводность твердых тел первой группы, т. е. теплопроводность диэлектриков, к которым принадлежит подавляющее большинство полимерных материалов. Вначале ограничимся рассмотрением кристаллических диэлектриков. Если рассматривать кристаллическую решетку как набор гармонических осцилляторов, в которой нормальные колебания независимы друг от друга, а амплитуды этих колебаний зависят от температуры, то оказывается, что тепловое сопротивление в такой решетке отсутствует. Кроме того, вследствие независимости отдельных колебаний и отсутствия взаимодействия между ними энергия каждого колебания сохраняется, и такая система не может перейти к равновесному распределению энергии. Дебай попытался учесть взаимодействие волн решетки и для определения коэффициента теплопроводности использовал известную из кинетической теории газов формулу: В приближении Грюнайзена у предполагается слабо изменяющейся функцией объема. Иногда считают, что параметр Грюнайзена практически не зависит от температуры. Однако предположение Грюнайзена о том, что все -\j равны, является недостаточно точным. В связи с этим было введено представление о среднем значении YC параметра Грюнайзена. Показано [35]', что ус зависит от температуры. Баррон в своих расчетах [35] исходил из теории Борна — Кармана. Кристалл, состоящий из N атомов, он рассматривал как ансамбль, состоящий из 3N гармонических осцилляторов, имеющих частоты нормальных колебаний, равные v,-. Уравнение состояния в этом случае записывается в виде: Метод Борна заключается в сравнении этой энергии с энергией произвольного ряда гармонических осцилляторов:  Гидрофобные взаимодействия Гидрохинон окисляется Гидроксид щелочного Гидроксила карбоксильной Гидролитических ферментов Гидролитической стойкости Гидролитическом расщеплении Ганического соединения Гидролиза полисахаридов |
- |
Навигация